☆ Lien entre les matrices et les nombres complexes

À l’époque dite des mathématiques modernes, les élèves apprenaient les matrices avant la terminale scientifique, et la commission Lichnérowicz (1966-1973) avait choisi la matrice carrée d'ordre deux pour définir les nombres complexes ; cette approche a disparu des programmes de terminale au début des années 1980, mais elle reste intéressante pour faire le lien entre les parties du programme de maths expertes.

Considérons les matrices carrées de taille  `2 \times 2` de la forme \(Z = \begin{pmatrix} x& -y\\ y & x \end{pmatrix}\)  avec \(x\)  et \(y\)  des nombres réels.

Si \(x=0\)  et \(y=1\) , on a la matrice \(\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) .

Remarquons que \(Z=x\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) .

De plus, \(\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0 \end{pmatrix} ^2 =-\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}\) .

Il est donc tentant d’assimiler la matrice identité de taille  \(2 \times 2\) au réel  \(1\) et la matrice  \(\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0 \end{pmatrix}\) au nombre complexe \(i\) .

La matrice  \(Z\) représenterait alors le nombre complexe \(z=x+iy\) .

Vérifions que cette approche fonctionne.
Soit deux matrices carrées de taille \(2 \times 2\) , \(Z=\begin{pmatrix} x& -y\\ y& x \end{pmatrix}\)  et \(Z'=\begin{pmatrix} x'& -y'\\ y'& x' \end{pmatrix}\) avec \(x,x',y\)  et \(y'\)  des nombres réels :
\(Z+Z' = \begin{pmatrix} x+x'& -y-y'\\ y+y& x+x \end{pmatrix} =(x+x')\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix} +(y+y')\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0 \end{pmatrix}\)

La matrice  \(Z+Z'\) représenterait donc le nombre complexe \(z+z'=(x+x')+i(y+y')\) .
Il y a donc bien compatibilité avec l’addition des nombres complexes. \(\)

\(ZZ'= \begin{pmatrix} xx'-yy' & -x'y-xy'\\ x'y+xy'& xx'-yy'\\ \end{pmatrix}=(xx'-yy') \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+(x'y+xy') \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)

La matrice \(ZZ'\)  représenterait donc le nombre complexe \(zz'=(xx'-yy')+i(x'y+xy')\) .
Il y a donc bien compatibilité avec la multiplication des nombres complexes.

De plus,  \(\det(Z)=x^2+y^2=|z|^2\) .

\(z\)  est inversible si et seulement si \(|z| \ne0\) , c’est-à-dire si et seulement si la matrice  \(Z\) est inversible.

Ceci permet de retrouver toutes les opérations des nombres complexes, et on peut retrouver des interprétations géométriques similaires avec les matrices et les nombres complexes.